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1 引言
问题是数学的心脏——
【资料图】
数学一直是一门在解决无数问题的学科，而这篇文章，我们要讨论问题很有趣，是关于圆内周长，面积最大的多边形为正多边形纯粹几何的证明，这是一个很少有人讨论的问题，但他其实很有趣，很优美。
本篇论文是我们三个中学生研究出来的，在暑假正好有时间在网上写 下自己的第一篇文章。在我们研究圆时，我们突然想到了一个很有意思的 问题——圆内接多边形中面积最大的多边形是什么？我们没有学过三角函 数，所以我们发现了一种不需三角函数暴力表示的方法，这是一种很纯粹，很有趣的几何方法 。
注：推荐看定理九与定理十，定理一，二，四，七可不看
2 证明部分
定理 1. 在一个三角形中，较大角所对边比较小角所对边大
证明：
即证明在三角形 ABC 中，若 ∠A>∠C，则 a>c
假设 ∠A>∠C 时，a≤ c 则一定可以在 c 上截取 BH=BC 连接 HC 设 ∠A=α，∠C=β
情况 . 当 A 不与 H 重合时
在 △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠B=180°-α-β ∵ BH=BC
∴ ∠HBC=∠BHC
在 △ABC 中 ∠B+∠HBC+∠BHC=180°
∴ ∠BHC=(180° −∠A)/2= α+β)/2
∵∠BHC>∠A
∴ α+β 2 >α
∴ β>α
由题：α>β
矛盾！
情况 . 当 H 与 A 重合
同理：∠BHC= (α+β)/2
∵ ∠BHC=∠BAC
∴ (α+β)/2=α
∴ β=α
由题：α>β
矛盾！
∴ 假设 ∠A>∠C 时，a≤ c 不成立
故 ∠A>∠C 时，a>c
QED
定理 2. 对于圆内任意一个弦，这个弦把圆切割成的两部分，在圆上任意取 一点向这个弦做垂线，当这一点在这一条弦的中垂线上时，这条垂线分别 在这个弦切割成的两部分内最长
证明：
即证当 C 在 AB 中垂线上时，CN 分别在这个弦切割成的两部分内 最长取得最大值
过圆心 O 作直线 l 平行于 AB 过 C 作 CM⊥l 交 l 于 M，AB 于 N
情况 . C 在 AB 上方
设 MO=y，NM=X，CM=z，CO=k
在 Rt△CMO 中，∠CMO=90°
∴ CO² + CM² = MO²
即 y² + (z + x) ² = k ²
∴ (z + x) ² = k² − y ²
∵ x 为定值 (即 AB 与 l 间的距离)
∴ 求 z 的最大值
∴ 即求 (z+x) 的最大值
∴ 即求 (z + x)² 的最大值
∵ k 为定值 (k 为半径)
又 k²≥0
∴ 0≤k² − y²≤k²
∴ 当 y=0 时，取等，k² − y² 取得最大值
∴ 即当 M 与 O 重合时，z 取得最大值
下面来证明此时 C 在 AB 中垂线上 (以下讨论是在 M 与 O 重合的情况下)：
此时 CO⊥l 又 AB 平行于 l 可得 ∠ANO=∠BNO=90°
又 AO=BO=k(即为半径)
又 NO=NO
∴Rt△ANO≌Rt△BNO
∴ AN=BN
又 CN⊥AB
∴ 此时 C 在 AB 中垂线上
情况 . C 在 AB 下方
设 MO=y，NM=X，CM=z，CO=k
在 Rt△CMO 中，∠CMO=90°
∴ CO² + CM² = MO²
即 y ² + z² = k²
∴ z² = k² − y²
∵ k 为定值 (k 为半径)
又 k 2≥0
∴ 0≤k 2 − y 2≤k 2
∴ 当 y=0 时，取等，k 2 − y 2 取得最大值
∴ 即当 M 与 O 重合时，z 取得最大值
∵ x 为定值 (即 AB 与 l 间的距离)
∴ 求 z+x 的最大值
∴ 即求 z 的最大值
下面来证明此时 C 在 AB 中垂线上 (以下讨论是在 M 与 O 重合的情 况下)：
此时 CO⊥l 又 AB 平行于 l 可得 ∠ANO=∠BNO=90°
又 AO=BO=k(即为半径)
又 NO=NO
∴ Rt△ANO≌Rt△BNO
∴ AN=BN
又 CN⊥AB
∴ 此时 C 在 AB 中垂线上
综上，当 C 在 AB 中垂线上时，CN 取得最大值
QED
定理 3. 对于圆内任意一个弦交圆于两点，与圆上任意一点构成的三角形， 当这一点在这一条弦的中垂线上时，这个三角形的面积在这个弦切割成的两部分内分别最大
证明：
注：这里当 C 在 AB 下方时同理，不加赘述
∵ S△ABC=AB*CN
又 AB 为定值
∴ 欲求 S△ABC 最大值 ，只需求 CN 最大值
又当 C 在 AB 中垂线上时，CN 取得最大值 (定理 2)
∴ 当这一点在这一条弦的中垂线上时，这个三角形的面积最大 当 C 在 AB 下方时，同理
∴ 当这一点在这一条弦的中垂线上时，这个三角形的面积在这个弦切 割成的两部分内分别最大
QED
定理 4. 对于圆内任意一个多边形 n1n2……nm，如果 n1n2 = n2n3 = …… = nmn1，则这个多边形为正多边形
证明：
连接 n1O，n2O，n3O，…，nmO
∵ n1n2 = n2n3 = …… = nmn1
又 n1O = n2O = n3O = … = nmO
∴ △n1On2 ≌△n2On3 ≌……≌△nmOn1
∴ ∠n1n2O=∠n2n1O=…=∠nm − 1nmO=∠nmnm − 1O
∴ ∠n1n2n3=∠n2n3n4=…=∠n1nmnm − 1=∠nm − 1nmn1=2∠n1n2O
又 n1n2 = n2n3 = … = nmn1
∴ 多边形 n1n2…nm 为正多边形
QED
定理 5. 对于任意两圆 a，b，如果 ra = rb，以两圆任意半径作相等的角，那 么，a 圆上的点的移动量比 b 圆上的点的移动量大
证明：
已知：∠BOA=∠DO′C
OA>O’C
求证：AM>CH
连接 AB，CD
∵ BO=OA
∴ ∠OBA=∠OAB
在 △ABO 中
∠BOA+∠OBA+∠OAB=180°
∴ ∠OBA=∠OAB= 180°− ∠BOA /2
∵ O’C=O’D
∴ ∠O′DC=∠O′CD
在 △DCO′ 中
∠O′DC+∠O′CD+∠CO′D=180°
∴ ∠O′CD=∠O′DC= 180°−∠CO′D/2
又 ∠BOA=∠DO′C
∴ ∠O′CD=∠O′DC=∠OBA=∠OAB
∴ △ABO∼△DCO′
∴ OA/ O′C= BA/ CD
又由题：OA>O’C
∴OA /O′C>1
∴ BA/DC>1
∵ ∠O′CD=∠OAB
又 ∠BMA=∠DHC=90°
∴ △BMA∼△DHC
∴ BA/ DC= MA/ HC
又 BA/ DC>1
∴ MA /HC >1
即 AM>CH
QED
定理 6. 如图，对任意一圆 c 内任意一条弦 AB，H 为 AB 中垂线与圆 c 的 交点，D 在 H 点右边 (或左边)，连接 DA，DB 则 D 与左侧连线 (或右边) 比其与右侧连线 (或左边) 大，即 DA>DB(或 DB>DA)
证明：
由题：HA=HB
∴ ∠HAB=∠HBA
∵ ∠HAB>∠DAB
又 ∠DBA>∠HBA
∴ ∠DBA>∠DAB
∴ DA>DB(定理 1)
QED
定理 7. 对于式子 a+b，如果 a 增大 m，b 减少 n，如果 m>n, 则：a+b+m-n>a+b
证明：
欲证 a+b+m-n>a+b
只需证 m-n>0
即 m>n
由题：m>n
∴ a+b+m-n>a+b
QED
定理 8. 如图，C 为 AB 中垂线与弧 AB 的交点，D 为弧 AB 上任意一点 (不与 C 重合)，如果其在 C 右边，延长 AC 到点 M 使 MA=AD，同时在 BC 上截取 BN=BD，连接 NM，那么 MC<NC，如果其在 C 左边，则延长 CB 到点 M 使 MA=DB，在 DA 上截取 AN=AD，也是 MC<NC
证明：
注：当 D 在 C 左边与在 AB 下方时，同理，不多加赘述
设 ∠CAB=α，∠M=β
由题题：AC=CB ∴ ∠CAB=∠CBA=α
∴ ∠MCN=∠CBA+∠CAB=2α
在 △MCN 中
∠MCN+∠M+∠MNC=180°
∴ ∠MNC=180°-2α-β
欲证 MC<NC
只需证 ∠M>∠MNC
只需证 β>180°-2α-β
只需证 β>90°-α
过 C 作 CH⊥AB 于 H
过 M 作 MK 平行于 CH 交 AB 于 K
在 Rt△MCN 中
∠CAH+∠ACH=90°
∴ ∠ACH=90°-α
∵ CH 平行于 MK
∴ ∠CMK=∠CAH=90°-α
欲证 β>90°-α
只需证 ∠NMK>0
这里，MA=MD，则这两点在同一圆上，BD=BN，则这两点也在同一 圆上，且 ∠MAD=∠DBN (A,B,C,D 四点共圆)，所以 M 从 D 向左的移动量是比 N 从 D 向左的移动量大(定理5)，则 M 在 N 左边，又 M 在 N 上方 (因为 一个向上移，一个向下移)，故定有 ∠NMK
∴ ∠NMK>0
∴ MC<NC
QED
定理 9. 对于圆内任意一个弦交圆于两点，与圆上任意一点构成的三角形，当这一点在这一条弦的中垂线上时，这个三角形的周长在这个弦切割成的两部分内分别最大
证明：
注：D 在左边时与在 AB 下方时讨论同理，不多加赘述
D 不与 C 重合
作 AB 中垂线交弧 AB 于 C
延长 AC 到点 M 使 MA=AD
在 BC 上截取 BN=DB
NC>MC(定理 8)
MC 为 AD 减少量
CN 为 BD 增加量
∴ AC+CB>BD+AD(定理 7)
又 AB 为定值
∴ C△ACB>C△ADB
又 D 为弧 AB 上任意一点 (不与 C 重合)
∴C△ACB 在弧 AB 上周长最大
QED
补充命题 9 的证法：(鲁珈靖的证法)
证明：
注：D 在右边时与在 AB 上方时讨论同理，不多加赘述
C’ 为圆上任意一点 (不与 C’ 重合)
作 AB 中垂线交圆于 C
连接 AC’,BC’
延长 AC 至点 D 使 BC=CD, 连接 BD
延长 AC’ 至点 D’ 使 BC’=C’D’
设 ∠BDC=α
∵ BC=CD
∴ ∠BDC=∠CBD=α
∴ ∠ACB=2α
又 A,B,C,C’ 四点共圆
∴ ∠AC′B=∠ACB=2α
又 BC’=C’D’
∴ ∠BD′C ′=∠C ′BD′
∴ ∠C ′D′B= ∠AC′B 2 =α
∴ ∠BDC=∠BD′C ′=α
∴ A,B,D,D’ 四点共圆
又由中垂线得 AC=BC
∴ AC=BC=CD
∴ △ABD 为直角三角形
∴ B 在以 AD 为直径，C 为圆心的圆上
∴ AD’ 为其圆内不经过圆心的一弦 (因为 AD’ 若经过圆心，则 AC 经 过圆心，即 C’ 与 C 重合，与条件矛盾)
又 AD 为直径
又圆内最长的弦为直径
∴ AD’<AD 即 AC+BC>AC’+BC’
∴ C△ACB>C△ADB
又 C’ 为弧 AB 上任意一点 (不与 C’ 重合)
∴C△ACB 在弧 AB 上周长最大
QED
补充命题 9 的证法：(廖振宇的证法)
证明：
作 AB 中垂线交弧 AB 于 H
T 为弧 AB 上任意一点 (不与 H 重合)
连接 TA,TB,HA,HB
设 TB,AH 交于点 F
∵ A,T,H,B 四点共圆
∴ ∠TAH=∠HBT，∠ATB=∠AHB
又 ∠TFA=∠HFB
∴ △AT F∼△BHF
由题：HA=HB
∴ ∠HAB=∠HBA
∵ ∠FBA=∠HBA-∠HBT
∴ ∠FAB>∠FBA
∴ FB>FA
设 AF=a,AT=b,TF=c
FB=ma,AH=mb,TF=mb(m>0)
AT+TF-AF=b+c-a>0
FH+HB-FB=m(b+c-a)>0
∴ FH+HB-FB>AT+TF-AF
∴FH+HB+AF>AT+TF+FB
∴ AH+HB>AT+TB
∴ C△AT B>C△AHB
又 T 为弧 AB 上任意一点 (不与 H 重合)
∴C△AHB 在弧 AB 上周长最大
QED
定理 10. 在圆内周长，面积最大的内接多边形为正多边形
证明：
对于圆内内接 m 边形上一点 na，如果这个点不在 na + 1na − 1 中垂 线上，则我只需要在不改变其他点的前提下，把 na 取在 na + 1na − 1 中垂线上，此时 C△na − 1nana + 1 取得最大值，而线段 na + 1na −1 不变，所以 也是 nana + 1+nana − 1 最大值，所以此时的内接 m 边形是大于之前的内 接 m 边形的，所以这里，其不为圆内圆内周长最大的内接多边形，当对于 内接 m 边形上任意一点如果其都在相邻两点的中垂线上，我们找不到周长 更大的多边形，那么，这时其每边都相等，那么这时这个多边形为定多边形 即正多边形，所以圆内内接多边形周长最大的是正多边形，面积也是一样 的道理，如果有一点不在相邻两点的中垂线上，那么我一定可以找出一个 多边形面积比它大，那么当对于内接 m 边形上任意一点如果其都在相邻两点的中垂线上，我们找不到面积更大的多边形，那么，这时其每边都相等， 那么这时这个多边形为定多边形即正多边形，所以圆内内接多边形面积最 大的是正多边形
注：这里可能有人觉得我们没有考虑除了那个三角形以外的多边形的 面积或周长，还有，我们好像只考虑了一种判断方法，但是，你想，只要有一点不在相邻两点中垂线上，我们一定可以找到比起面积更大的，那么，这些多边形都被排除了，那么剩下的就是每一点都在相邻两点中垂线上，那么定理四中我们就证明了这个多边形为正多边形，那么，这个多边形是确 定下来了，因为圆内内接周长，面积最大的多边形肯定符合中垂线这一点（及任意一点都在相邻两点中垂线上），但圆内内接符合的多边形有且只有正多边形（而且这个正多边形只有一个，边长等都是确定的），所以这里是 没有问题的，不用其他判断方法
QED
3 后记
很感谢能看到这里，这是我奋斗十几天的成果，我从一个 latex 小白到 可以简单编写论文，这篇论文是我们三位在闲暇之余研究的，很感慨，大部 分在网上的文章都是三角函数硬算的，我们这个是一次讨论中临时想出的， 大家都不太会三角函数，所以才有这篇文章，其实我们最初没想研究这个的，是廖振宇提出圆内面积最大的三角形，然后才到这个标题，说实话这些内容并不十分复杂，我们也只是普通的中学生，我们很希望大家多多讨论，多多指点，有任何问题都可以留言评论呀
最后我想送给大家一句我很喜欢的话：
数学的本质在于他的自由——康托尔
作者：兰量，鲁珈靖，廖振宇
